문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 갈루아 이론 (문단 편집) == 개요 == {{{+1 théorie de Galois / Galois [[理]][[論]]}}} [[에바리스트 갈루아|갈루아]] 이론이란, [[체(대수학)|체]]의 대칭성 정보를 '손실 없이' [[군(대수학)|군]]으로 가져와 연구하는 [[이론]]이다. 여기서 "손실"이 없다는 것은, 체의 확장(field extension)에서 부분체(subfield)를 고정시키는 고정군[* fixing group. 여기서 어떤 조건이 만족되면 갈루아군(Galois group)이라 부른다.][* 부분체를 고정시키는 것은 대칭성을 담고 있다. ]에 여러 부분체가 대응되거나, 부분군(subgroup)에 대한 고정체(fixed field)가 여럿 대응되지 않는 상황을 일컫는다.[* 후자의 경우는 어떤 경우도 일어나지 않는다. 이하의 정의를 보면 자명하다. 정말 문제가 되는 것은 전자이다. ] 즉, 고정체와 고정군의 일대일 대응을 다루는 것이다. 이를 보장하는 확장이 갈루아 확장(Galois extension)이며, 이 [[일대일 대응]]을 갈루아 대응(Galois correspondence)라 부른다. 가장 대표적인 사례가 대수 방정식의 대수적 가해성 판별 문제이다. 이 문제를 예로 들어 갈루아 이론을 다시 설명하자면, 방정식의 차수가 높아질수록 대수 방정식이 풀리는 체의 확장에 대응하는 갈루아군의 대칭성이 떨어진다. 즉, 유리 계수 5차 방정식부터는 갈루아군이 [[가해군]]이 아닐 수 있어, 대수적 해법이 없게 된다. '미분 갈루아 이론'이란 것도 있는데, 여기선 미분체(미분 연산을 갖춘 체)에 갈루아 이론 비스무리한 방법을 적용하여 어떤 함수의 [[부정적분]]이 [[초등함수]]로 표현될 수 있는지 알아낼 수 있다. 또한 모든 유한군을 유리수체 확대체의 갈루아군으로 표현할 수 있는지에 대한 문제를 역 갈루아 문제(inverse Galois problem)라고 하며 아직까지 미해결 문제이다. 이하에서는 [[체(대수학)]]의 내용을 모두 이해했음을 가정하고, '''유한 확대'''에 한해 설명하기로 한다. 무한 확대에 대해서는 말미에 간단히 언급할 것이다. 학부생에게는 4학기 내지 5학기 동안 진행되는 학부 대수학 강의의 대미를 장식하는 이론이기도 하다. 그만큼 어렵기도 해서[* 사실 난이도가 막장이라기보다는, 이전까지 배워왔던 각종 대수 관련 개념과 정리들이 총동원되기 때문에 개념이 덜 쌓인 부분이 이해를 막는 경우가 많다. 의외로 이전까지 착실히 대수학 지식을 쌓아오던 학생들은 그다지 어렵게 느끼지 않는 경우도 많다. 특히 선형대수학에서 배운 특성다항식과 관련된 정리들과 증명 아이디어(선형대수에서 이용된 다항식 관련 증명 테크닉은 여기서도 그대로 이용된다.), 대수학I 과정 때 배운 군 개념과 정리들을 착실히 복습하면 큰 도움이 된다. --괜히 대수학I 과정에서 symmetric group이니 dihedral group이니 하면서 숫자 위치 바꿈 놀음이나 정n각형 판때기 돌리기 노가다를 시킨 게 아니다--]인지 갈루아 이론이 포함된 과목은 그전까지만 해도 빵빵하던 대수학 수강생들이 해당 과목 시기만 되면 언제 수강했냐는 듯 우르르 빠져나가기도 한다.[* 대수학I 과정은 대부분의 학교에서 전공 필수 과목이어서 좋든 싫든 수강해야 하지만, 갈루아 이론이 포함된 대수학II 과정은 전공 선택이므로 이미 대수학I에서 염증을 느낀 학생들은 --대학원 석박 통합 과정 지원 준비할 거 아니면-- 굳이 들을 필요가 없다.] 수학교육과의 중등교원 [[임용고시]] 시험에서도 매년 어렵게 출제되는 주제이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기